Der Goldene Schnitt · Hannes

🔊 Bei jedem Abschnitt kannst du dir die Erklärung vorlesen lassen. Nochmal tippen = Stopp.

① Was ist der Goldene Schnitt?

Ein Punkt T teilt die Strecke [AB] in einen größeren Teil [AT] (Major) und einen kleineren Teil [TB] (Minor).
Goldener Schnitt heißt: größerer Teil : kleinerer Teil = ganze Strecke : größerer Teil

|AT| : |TB| = |AB| : |AT| ≈ 1,618  (wie in deinem Heft)

② Die goldene Zahl Φ (Phi)

Φ = (1 + √5) : 2 ≈ 1,618
Kehrwert: 1 : Φ ≈ 0,618  ·  1 − 0,618 = 0,382
Also: Der größere Teil ist ≈ 61,8 % der Strecke, der kleinere ≈ 38,2 %.

③ Rechnen: von der ganzen Strecke zu den Teilen

|AB| = 10 cm
größerer Teil: |AT| = 10 : 1,618 ≈ 6,18 cm  (oder 10 · 0,618)
kleinerer Teil: |TB| = 10 − 6,18 = 3,82 cm
Probe: 6,18 : 3,82 ≈ 1,618 ✔ und 10 : 6,18 ≈ 1,618 ✔

④ Rückwärts rechnen

Merksatz: Nach oben (größer) mal 1,618 – nach unten (kleiner) durch 1,618.
Beispiel: kleinerer Teil 3 cm → größerer Teil 3 · 1,618 ≈ 4,85 cm → ganze Strecke 3 + 4,85 = 7,85 cm.

⑤ Prüfen: Goldener Schnitt oder nicht?

Beide Verhältnisse ausrechnen: größerer : kleinerer und ganze : größerer. Kommt beide Male ≈ 1,62 heraus → goldener Schnitt.
Beispiel: 13 cm und 8 cm → 13 : 8 = 1,625 und 21 : 13 ≈ 1,615 → ja (ungefähr).
Gegenbeispiel: 6 cm und 4 cm → 6 : 4 = 1,5 → nein.

⑥ Konstruktion (wie im Heft)

1. Strecke [AB] zeichnen.
2. Mittelpunkt M von [AB] bestimmen.
3. In B die Senkrechte zeichnen und darauf |BP| = |AB| : 2 abtragen (Zirkel um B mit Radius |BM|) → Punkt P.
4. A mit P verbinden.
5. Kreis um P mit Radius |PB| → schneidet [AP] in D.
6. Kreis um A mit Radius |AD| → schneidet [AB] in T. Fertig: T teilt [AB] im Goldenen Schnitt!

👉 Im Tab „2 · Konstruktion“ kannst du das Schritt für Schritt anschauen.

⑦ Bonus: Warum klappt die Konstruktion? (Pythagoras – kommt später, nicht im Test)

Beispiel |AB| = 8 cm → |BP| = 4 cm. Dreieck ABP ist rechtwinklig bei B:
|AP| = √(8² + 4²) = √80 ≈ 8,94 cm
|AD| = |AP| − |PD| = 8,94 − 4 = 4,94 cm = |AT|
|TB| = 8 − 4,94 = 3,06 cm → 4,94 : 3,06 ≈ 1,61 ✔

⑧ Herleitung von Φ (Profi)

Kleinerer Teil = 1, größerer Teil = x, ganze Strecke = x + 1.
x : 1 = (x + 1) : x  | · x
x² = x + 1 → x² − x − 1 = 0
Lösungsformel (kommt später, nicht im Test): x = (1 ± √5) : 2 → positive Lösung x = (1 + √5) : 2 ≈ 1,618 = Φ

Coole Eigenschaften: Φ² = Φ + 1 ≈ 2,618  ·  1 : Φ = Φ − 1 ≈ 0,618

⑨ Goldenes Rechteck

Lange Seite : kurze Seite ≈ 1,618. Kurze Seite 10 cm → lange Seite 16,18 cm.
Schneidet man ein Quadrat ab, bleibt wieder ein goldenes Rechteck übrig (10 : 6,18 ≈ 1,618) – immer weiter → goldene Spirale.
Konstruktion aus einem Quadrat: Mittelpunkt einer Seite nehmen, Kreis mit Radius bis zur gegenüberliegenden Ecke, Seite verlängern.

⑩ Fibonacci, Pentagramm & Alltag

Fibonacci-Zahlen: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 … (jede Zahl = Summe der zwei davor).
Teilt man eine durch die vorige, kommt man immer näher an 1,618: 8 : 5 = 1,6 · 13 : 8 = 1,625 · 21 : 13 ≈ 1,615 · 34 : 21 ≈ 1,619
Pentagramm/Fünfeck: Diagonale : Seite = Φ.
Alltag: Kunst, Architektur, Fotos (Bildaufteilung), Körper (Bauchnabel teilt die Körpergröße ungefähr golden).
⚠️ DIN A4 ist NICHT golden: 297 : 210 ≈ 1,414 (= √2).

⑪ Bonus: Schwerpunkt im Dreieck (Heft S. 30)

Die Seitenhalbierenden (Ecke → Mitte der gegenüberliegenden Seite) schneiden sich im Schwerpunkt S.
S teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2 : 1 (langes Stück an der Ecke).
Seitenhalbierende 9 cm → Ecke bis S = 6 cm, S bis Seitenmitte = 3 cm.
Mit Koordinaten: S = ((x_A + x_B + x_C) : 3 | (y_A + y_B + y_C) : 3)