Schwerpunkt im Dreieck · Hannes

🔊 Bei jedem Abschnitt kannst du dir die Erklärung vorlesen lassen. Nochmal tippen = Stopp.

① Was ist eine Seitenhalbierende?

Eine Seitenhalbierende ist die Strecke von einer Ecke zur Mitte der gegenüberliegenden Seite.
Jedes Dreieck hat drei Seitenhalbierende: s_a (von A zur Mitte von [BC]), s_b (von B zur Mitte von [AC]), s_c (von C zur Mitte von [AB]).
⚠️ Nicht verwechseln: Die Seitenhalbierende steht meistens nicht senkrecht auf der Seite!

② Der Schwerpunkt S

Alle drei Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt: dem Schwerpunkt S.
S liegt immer innerhalb des Dreiecks. Schneidest du das Dreieck aus Pappe aus, kannst du es genau in S auf einer Bleistiftspitze balancieren.

③ S teilt im Verhältnis 2 : 1

S teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2 : 1 – das lange Stück liegt an der Ecke.
Drittel-Trick: Seitenhalbierende in 3 gleiche Teile → Ecke bis S = 2 Teile, S bis Seitenmitte = 1 Teil.
Beispiel: s = 9 cm → 1 Teil = 9 : 3 = 3 cm → Ecke bis S = 6 cm, S bis Mitte = 3 cm.

④ Rückwärts rechnen

Merksatz: Erst 1 Teil ausrechnen, dann weiter.

⑤ Seitenmitte mit Koordinaten

Mitte von [AB]: M = ((x_A + x_B) : 2 | (y_A + y_B) : 2)
Beispiel: A(1 | 2), B(7 | 4) → M((1 + 7) : 2 | (2 + 4) : 2) = M(4 | 3)

⑥ Schwerpunkt mit Koordinaten

S = ((x_A + x_B + x_C) : 3 | (y_A + y_B + y_C) : 3) – also der Mittelwert der drei Ecken.
Beispiel: A(0 | 0), B(6 | 0), C(3 | 6) → S((0 + 6 + 3) : 3 | (0 + 0 + 6) : 3) = S(3 | 2)
⚠️ Vorzeichen beachten: A(−2 | 1), B(4 | −3), C(1 | 5) → S((−2 + 4 + 1) : 3 | (1 − 3 + 5) : 3) = S(1 | 1)

⑦ Profi: fehlender Eckpunkt

S und zwei Ecken bekannt → dritte Ecke: x_C = 3 · x_S − x_A − x_B (genauso für y).
Beispiel: S(3 | 2), A(0 | 0), B(6 | 0) → x_C = 9 − 0 − 6 = 3, y_C = 6 − 0 − 0 = 6 → C(3 | 6)
Mit Vektoren (wie bei der Streckung): AS = ⅔ · AM_a.

⑧ Konstruktion (Zirkel + Lineal)

1. Dreieck ABC zeichnen.
2. Mitte von [AB] finden: Mittelsenkrechte (Zirkel um A und um B mit gleichem, großem Radius, Schnittpunkte verbinden) → M_c.
3. C mit M_c verbinden → Seitenhalbierende s_c.
4. Genauso Mitte M_a von [BC], A mit M_a verbinden → s_a.
5. Schnittpunkt = S.
6. Kontrolle: Die dritte Seitenhalbierende s_b muss genau durch S gehen. Miss nach: 2 : 1?

👉 Im Tab „2 · Konstruktion“ kannst du das Schritt für Schritt anschauen.

⑨ Nicht verwechseln: besondere Punkte im Dreieck