🔊 Bei jedem Abschnitt kannst du dir die Erklärung vorlesen lassen. Nochmal tippen = Stopp. Auch bei den Karten und bei falschen Quiz-Antworten gibt es 🔊.
Zentrum Z, Streckungsfaktor k: ZP′ = k · ZP (Vektoren)
Der Vektor von Z zum Bildpunkt ist k-mal so lang wie der Vektor von Z zum Punkt.
( x′ | y′ ) = k · ( x | y ) = ( k·x | k·y )
P(3 | −2), k = 2 → P′(6 | −4)
( x′ − z₁ | y′ − z₂ ) = k · ( x − z₁ | y − z₂ )
also x′ = z₁ + k·(x − z₁) und y′ = z₂ + k·(y − z₂)
Beispiel: Z(2 | 1), k = 3, P(4 | 3)
ZP = (4 − 2 | 3 − 1) = (2 | 2) → mal 3 → (6 | 6) → zu Z dazu: P′(2 + 6 | 1 + 6) = P′(8 | 7)
⚠️ Erst Z abziehen, dann mal k, dann Z wieder dazu!
| k | Wirkung |
|---|---|
| k > 1 | vergrößert, Bild auf derselben Seite von Z |
| 0 < k < 1 | verkleinert |
| k = 1 | nichts passiert |
| k < 0 | Bild liegt auf der anderen Seite von Z (k = −1 = Punktspiegelung an Z) |
Strecken werden |k|-mal so lang, Flächen k²-mal so groß.
k gesucht: k = (x′ − z₁) : (x − z₁) (mit y genauso – muss dasselbe ergeben)
Urbild P gesucht: x = z₁ + (x′ − z₁) : k
Zentrum gesucht: Gleichung x′ = z₁ + k·(x − z₁) nach z₁ auflösen (y genauso).
g: y = x + 2, Z(1 | 0), k = 2
1. Punkt auf g allgemein: P(x | x + 2)
2. Vorschrift: (x′ − 1 | y′ − 0) = 2 · (x − 1 | x + 2)
3. I: x′ − 1 = 2x − 2 → x = (x′ + 1) : 2 (nach x auflösen)
II: y′ = 2x + 4
4. x in II einsetzen: y′ = 2·(x′ + 1) : 2 + 4 = x′ + 1 + 4 → g′: y′ = x′ + 5
✅ Kontrolle: Die Bildgerade ist immer parallel zu g (gleiches m)!
✅ Liegt Z auf g, dann ist g′ = g.
💡 Schneller Weg: einen Punkt von g abbilden (z. B. den mit x = z₁) und mit dem alten m die Gerade aufstellen.
v = (3 | −2), k = −2 → k · v = (−2·3 | −2·(−2)) = (−6 | 4)
• Bild einer Geraden ist parallel zur Geraden (Geraden durch Z bleiben gleich)
• Winkel bleiben gleich groß (winkeltreu) · Form bleibt gleich (ähnlich)
• Strecken werden |k|-mal so lang, Umfang auch |k|-mal, Flächen k²-mal
• Z bleibt, wo er ist (Fixpunkt) · Z, P und P′ liegen auf einer Geraden
Zwei Strahlen von Z aus, geschnitten von zwei parallelen Geraden AB ∥ A′B′:
1. ZA′ : ZA = ZB′ : ZB (= k)
2. A′B′ : AB = ZA′ : ZA (Parallelen-Strecke immer mit den Strecken ab Z!)
3. ZA : AA′ = ZB : BB′ (Teilstrecken)
⚠️ Falsch: A′B′ : AB = AA′ : ZA – bei den Parallelen nie die Teilstrecke AA′ nehmen!
Beispiel: ZA = 6, AA′ = 3, AB = 8 → ZA′ = 9 → A′B′ = 8 · 9 : 6 = 12
Ein 2-m-Stab wirft 1,5 m Schatten, ein Baum 9 m → Baum : 9 = 2 : 1,5 → Baum = 12 m.
Immer: Skizze, parallele Strecken finden, Vierstreckensatz aufschreiben, nach der Unbekannten auflösen.
Dreieck: Grundseite 12 cm, Höhe 8 cm. Rechteck mit Höhe x steht auf der Grundseite.
Oben bleibt ein kleines Dreieck mit Höhe (8 − x), das parallel ist → Vierstreckensatz:
b : 12 = (8 − x) : 8 → b(x) = 12 − 1,5x
Fläche A(x) = x · (12 − 1,5x) = −1,5x² + 12x = −1,5(x − 4)² + 24 → Amax = 24 cm² für x = 4