y = a·(x − xS)² + yS → Scheitel S(xS | yS)
⚠️ Vorzeichen in der Klammer dreht sich um!
y = (x − 5)² + 3 → S(5 | 3) · y = 0,5(x + 4)² − 2 → S(−4 | −2)
Keine Klammer? y = 0,1x² + 4 → xS = 0 → S(0 | 4) · Kein „+ yS“? y = −⅜(x − 2)² → S(2 | 0)
| a | bedeutet |
|---|---|
| a > 0 | nach oben geöffnet, S = tiefster Punkt (Minimum) |
| a < 0 | nach unten geöffnet, S = höchster Punkt (Maximum) |
| |a| > 1 | schmaler als die Normalparabel (gestreckt) |
| |a| < 1 | breiter als die Normalparabel (gestaucht) |
| a = 1 / a = −1 | Normalparabel / nach unten geöffnete Normalparabel |
a = 0,5 und S(2 | 3) → einsetzen: y = 0,5(x − 2)² + 3
Verschiebung von y = ax² um v = (3 | −2): Scheitel wandert von (0|0) nach S(3 | −2) → y = a(x − 3)² − 2.
Hat die Parabel schon einen Scheitel: Sneu = S + v, z. B. S(2|1) + (2|−4) = (4 | −3). Das a bleibt gleich!
1. Klammer mit binomischer Formel auflösen 2. a mit jedem Term multiplizieren 3. zusammenfassen
y = 0,5(x + 4)² − 2
= 0,5·(x² + 8x + 16) − 2
= 0,5x² + 4x + 8 − 2
= 0,5x² + 4x + 6
⚠️ (x + 4)² ist nicht x² + 16! Es fehlt das 2·x·4 = 8x.
⚠️ Minus vor der Klammer: −1·(x² − 6x + 9) = −x² + 6x − 9 (alle Vorzeichen drehen)
Binomische Formeln: (x + d)² = x² + 2dx + d² · (x − d)² = x² − 2dx + d²
a gesucht: S(5 | 8), Punkt Q(−3 | −8):
−8 = a·(−3 − 5)² + 8 → −8 = 64a + 8 → −16 = 64a → a = −0,25
yS gesucht: nach unten geöffnete Normalparabel (a = −1), Symmetrieachse x = 1,5 (→ xS = 1,5), geht durch den Ursprung (0|0):
0 = −1·(0 − 1,5)² + yS → 0 = −2,25 + yS → yS = 2,25
Liegt ein Punkt auf der Parabel? x einsetzen, ausrechnen, mit y vergleichen.