Zwei Gleichungen, verbunden mit ∧ („und“). Die Lösung ist ein Zahlenpaar (x | y), das beide Gleichungen erfüllt = der Schnittpunkt der beiden Geraden.
Schreibweise: L = {(2 | 5)}
Wann? Beide Gleichungen fangen mit y = … an.
I y = 2x + 1 ∧ II y = −x + 7
→ Terme gleichsetzen: 2x + 1 = −x + 7 | +x | −1 → 3x = 6 → x = 2
→ x in I: y = 2·2 + 1 = 5 → L = {(2 | 5)}
Wann? Eine Gleichung ist schon nach y (oder x) aufgelöst.
I y = −2x + 1 ∧ II 2y − 6x = 4
→ Term für y mit Klammer in II einsetzen: 2·(−2x + 1) − 6x = 4
→ Klammer auflösen: −4x + 2 − 6x = 4 → −10x = 2 → x = −0,2
→ x in I: y = −2·(−0,2) + 1 = 1,4 → L = {(−0,2 | 1,4)}
⚠️ Klammer nicht vergessen! 2·(−2x + 1) = −4x + 2 (beide Terme mal 2).
Wann? Vor x oder y stehen Gegenzahlen (z. B. −2y und +2y).
I 5 − 2y = x + 1 ∧ II 3x + 2y = 18
→ I + II (links + links, rechts + rechts): 5 + 3x = x + 19 → 2x = 14 → x = 7
Keine Gegenzahlen? Dann vorher multiplizieren:
I 4x + y = 11 | ·2 → 8x + 2y = 22
II 3x − 2y = 0 → jetzt +2y und −2y → addieren: 11x = 22 → x = 2
1. Zweite Variable ausrechnen (x in die einfachste Gleichung einsetzen).
2. Probe: x und y in beide Gleichungen einsetzen.
3. Lösungsmenge: L = {(x | y)}
| Am Ende steht … | Geraden | Lösung |
|---|---|---|
| x = Zahl | schneiden sich | genau eine |
| 0 = 5 (falsch!) | parallel (gleiches m) | keine · L = { } |
| 0 = 0 (immer wahr) | identisch | unendlich viele |
Gerade: y = mx + t · m = Steigung, t = y-Achsenabschnitt
Steigung aus 2 Punkten: m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁)
Gerade zeichnen mit P(1|−1), m = 2: P eintragen → 1 nach rechts, 2 nach oben.
Senkrecht: m₁ · m₂ = −1 · Beispiel: 4 · (−0,25) = −1 ✔
Mittelpunkt von A(x₁|y₁), B(x₂|y₂): M( (x₁+x₂) : 2 | (y₁+y₂) : 2 )
Ausklammern: jeden Term durch den Faktor teilen: −6x³y² + 9x²y = −3x²y · (2xy − 3)
Ausmultiplizieren: 0,5x·(8x − 3y) = 4x² − 1,5xy
Binomische Formeln: (a + b)² = a² + 2ab + b² · (a − b)² = a² − 2ab + b²
Scheitelform T(x) = a(x − d)² + e → Scheitel S(d | e). a > 0 → Minimum.
T(x) = 2(x + 5)² − 1 → x = −5 (Vorzeichen dreht sich!), Tmin = −1
Definitionsmenge beim Bruch: Nenner darf nicht 0 sein → x·(x − 3): D = ℚ \ {0; 3}
Parallelogramm aus Vektoren (a₁|a₂) und (b₁|b₂): A = a₁·b₂ − a₂·b₁
PQ = (3|1), PS = (1|2): A = 3·2 − 1·1 = 5 FE
Dreieck: Winkelsumme 180°. Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber.
Pyramide mit lauter gleich langen Kanten: Seitenflächen sind gleichseitige Dreiecke → jeder Winkel 60°.
Nebenwinkel = zusammen 180° · Stufen-/Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß.